[Coding Test] 이코테 - 최단 경로

1. 최단 경로 알고리즘

가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘

- 유형 : 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘

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2. 다익스트라 (Dijkstra) 최단 경로 알고리즘

그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘

- 조건 : 음의 간선이 없을 때 정상 작동

1	출발 노드를 설정
2	최단 거리 테이블을 초기화
3	방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
4	해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신
5	3, 4번의 과정을 반복

 

2-1. 간단한 다익스트라 알고리즘

각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언 후 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)

- 시간 복잡도 : O(V^2) , V = 노드의 개수

 

📌 간단한 다익스트라 알고리즘 코드

import sys
input = sys.stdin.readline #input()을 더 빠르게 동작하기 위해 사용
INF = int(le9) #무한

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int,input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m) :
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 → b번 노드 이동 비용 = c
    graph[a].append((b,c))
    
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node() :
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
    	if distance[i] < min_value and not visited[i]:
        	min_value = distance[i]
            index = i
    
    return index

def dijkstra(start) :
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] =  True
    for j in graph[start]:
    	distance[j[0]] = j[1] 
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
    	#현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
        	cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
            	distance[j[0]] = cost
               
#다익스트라 알고리즘 수행               
dijkstra(start)

#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(i, n+1):
    #도달할 수 없는 경우, INF 라고 출력
    if distance[i] == INF:
    	print("INFINITY")
    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else : 
    	print(distance[i])

 

2-2. 개선된 다익스트라 알고리즘

힙 (Heap) 자료구조를 사용하여 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾기 가능

- 시간 복잡도 : O(ElogV), V = 노드의 개수, E = 간선의 개수

• 힙 (Heap)
  • 우선순위 큐 (Priority Queue)를 구현하기 위하여 사용하는 자료 구조
  • 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제
    • 최소 힙 (Min Heap) : 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제
    • 최대 힙 (Max Heap) : 값이 큰 데이터가 먼저 삭제
  • 라이브러리 : PriorityQueue / heapq

자료구조	추출되는 데이터
Stack	가장 나중에 삽입된 데이터
Queue	가장 먼저 삽입된 데이터
Priority Queue	가장 우선순위가 높은 데이터

 

📌 개선된 다익스트라 알고리즘 코드

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline #input()을 더 빠르게 동작하기 위해 사용
INF = int(le9) #무한

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int,input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m) :
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 → b번 노드 이동 비용 = c
    graph[a].append((b,c))
    
def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heap.heappush(q,(0,start))
    distance[start] = 0
    while q : #큐가 비어있지 않다면
    	# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
        	continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
        	cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
            	distance[i[0] = cost
                heapq.heappush(q,(cost,i[0]))


#다익스트라 알고리즘 수행               
dijkstra(start)

#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(i, n+1):
    #도달할 수 없는 경우, INF 라고 출력
    if distance[i] == INF:
    	print("INFINITY")
    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else : 
    	print(distance[i])

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3. 플로이도 워셜 (Floyd-Warshall) 알고리즘 

모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구하는 경우에 사용되는 알고리즘, 다이나믹 프로그래밍

↔ 다익스트라 : 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우, 그리디 알고리즘

- 시간 복잡도 : O(N^3)

 

📌 플로이드 워셜 알고리즘 코드

INF = int(le9)

# 노드의 개수 및 간선의 개수
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]

# 각자 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0 으로 초기화
for a in range(1, n+1) :
    for b in range(1,n+1) : 
    	if a == b :
        	graph [a][b] = 0
            
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in rnage(m) :
    # a에서 b로 가는 비용은 c라고 설정
    a, b, c = map(int,input().split())
    graph[a][b] = c
    
# 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
    for a in range(1,n+1):
    	for b in rnage(1,n+1):
        	graph[a][b] = min(graph[a][b],graph[a][k] + grakph[k][b])
            
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1) :
    for b in range(1,n+1) :
    	# 도달할 수 없는 경우, INF 출력
        if graph[a][b] == INF:
        	print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
        	print(graph[a][b], end=' ')
        print()