1. 최단 경로 알고리즘
가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
- 유형 : 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘
2. 다익스트라 (Dijkstra) 최단 경로 알고리즘
그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘
- 조건 : 음의 간선이 없을 때 정상 작동
| 1 | 출발 노드를 설정 |
| 2 | 최단 거리 테이블을 초기화 |
| 3 | 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택 |
| 4 | 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신 |
| 5 | 3, 4번의 과정을 반복 |
2-1. 간단한 다익스트라 알고리즘
각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언 후 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)
- 시간 복잡도 : O(V^2) , V = 노드의 개수
📌 간단한 다익스트라 알고리즘 코드
import sys
input = sys.stdin.readline #input()을 더 빠르게 동작하기 위해 사용
INF = int(le9) #무한
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int,input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m) :
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 → b번 노드 이동 비용 = c
graph[a].append((b,c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node() :
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1, n+1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start) :
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n-1):
#현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
#현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(i, n+1):
#도달할 수 없는 경우, INF 라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
#도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else :
print(distance[i])
2-2. 개선된 다익스트라 알고리즘
힙 (Heap) 자료구조를 사용하여 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾기 가능
- 시간 복잡도 : O(ElogV), V = 노드의 개수, E = 간선의 개수
- 힙 (Heap)
- 우선순위 큐 (Priority Queue)를 구현하기 위하여 사용하는 자료 구조
- 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제
- 최소 힙 (Min Heap) : 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제
- 최대 힙 (Max Heap) : 값이 큰 데이터가 먼저 삭제
- 라이브러리 : PriorityQueue / heapq
| 자료구조 | 추출되는 데이터 |
| Stack | 가장 나중에 삽입된 데이터 |
| Queue | 가장 먼저 삽입된 데이터 |
| Priority Queue | 가장 우선순위가 높은 데이터 |
📌 개선된 다익스트라 알고리즘 코드
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline #input()을 더 빠르게 동작하기 위해 사용
INF = int(le9) #무한
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int,input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m) :
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 → b번 노드 이동 비용 = c
graph[a].append((b,c))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heap.heappush(q,(0,start))
distance[start] = 0
while q : #큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0] = cost
heapq.heappush(q,(cost,i[0]))
#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(i, n+1):
#도달할 수 없는 경우, INF 라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
#도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else :
print(distance[i])
3. 플로이도 워셜 (Floyd-Warshall) 알고리즘
모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구하는 경우에 사용되는 알고리즘, 다이나믹 프로그래밍
↔ 다익스트라 : 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우, 그리디 알고리즘
- 시간 복잡도 : O(N^3)
📌 플로이드 워셜 알고리즘 코드
INF = int(le9)
# 노드의 개수 및 간선의 개수
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n+1) for _ in range(n+1)]
# 각자 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0 으로 초기화
for a in range(1, n+1) :
for b in range(1,n+1) :
if a == b :
graph [a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in rnage(m) :
# a에서 b로 가는 비용은 c라고 설정
a, b, c = map(int,input().split())
graph[a][b] = c
# 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n+1):
for a in range(1,n+1):
for b in rnage(1,n+1):
graph[a][b] = min(graph[a][b],graph[a][k] + grakph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1) :
for b in range(1,n+1) :
# 도달할 수 없는 경우, INF 출력
if graph[a][b] == INF:
print("INFINITY", end=" ")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(graph[a][b], end=' ')
print()
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